Multilinguisme et cooki de langue

Bonjour,
J’ai un site en 4 langues gérées avec des multi, langue par défaut français.
Lorsque je pointe sur la page sommaire dans une autre langue (?lang=en par exemple), les liens me renvoient vers la page en français, alors que ces liens sont correctement dirigés lorsque je choisis la langue dans le menu de langues (ce qui envoie un cookie).
Exemple ici : https://smartcity-guide.afd.fr/?lang=en, tous les liens de cette page d’accueil vont vers le français.
Merci de votre aide.